Los Simpson también predijeron los sistemas numéricos, o éso parece

1. Lisa Simpson y sus 8 dedos

Había una vez, en un mundo muy parecido al nuestro, una ciudad llamada Springfield, famosa por sus excéntricos personajes amarillos. En este mundo peculiar, los habitantes tenían una pequeña diferencia respecto a nosotros: todos tenían solo cuatro dedos en cada mano. Este detalle llevó a Lisa y sus compañeros “cerebrito” a desarrollar un sistema numérico, muy diferente al que usamos en el mundo real.

Nosotros usualmente contamos con diez dígitos, del 0 al 9. Después de llegar al 9, añadimos un nuevo dígito y empezamos de nuevo con 10, 11, 12 hasta llegar al 99 cuando añadimos otro 100, 101, ..., 999 y así sucesivamente. Esta forma de contar está profundamente enraizada en nuestra anatomía, ya que tenemos diez dedos en total, cinco en cada mano.

Sin embargo, en Springfield, las cosas funcionaban de manera distinta. Con solo ocho dedos en total, los habitantes de esta ciudad decidieron crear un sistema numérico que se adaptara mejor a su fisiología. Así nació el sistema octal, que utiliza solo ocho dígitos: del 0 al 7. Al llegar al 7, en lugar de pasar al 8 como lo haríamos en el sistema decimal, los habitantes de Springfield pasaban al 10 octal, similarmente al llegar al 77 añaden un dígito y pasan al 100.

Imagina que Lisa y sus amigos cerebrito estaban jugando con números y decidieron multiplicar 3 por 3 (sumar tres veces el número 3). En nuestro sistema decimal, la respuesta es 9 (3 + 3 + 3). Pero en el mundo octal de Springfield, 9 no existe como un dígito único. Así que tuvieron que pensar en la forma como ellos lo definieros. En el sistema octal, 3 x 3 = 11. ¿Por qué? Porque en octal, el número que sigue al 7 es el 10, y así 11 en octal representa lo que sería 10 en decimal más 2. 3 + 3 en octal es igual a 6, y si a 6 le sumamos 3 es pasar de 6 a 7, a 10 y a 11.

Esto significa que, aunque los números se ven diferentes, las matemáticas funcionan de la misma manera. Multiplicar, sumar, restar y dividir sigue las mismas reglas, solo que los símbolos que usamos para representar esos números cambian.

Lisa, cuando conoció a los humanos, nos dijo: "Si comprendes las reglas de nuestro sistema octal, puedes hacer cualquier cálculo que harías en el sistema decimal. La clave está en la correspondencia y en entender que los fundamentos matemáticos son universales."

Y así, en la ciudad de Springfield, los cerebritos de Lisa y sus amigos demostraron que no importa cuántos dedos tengas, la esencia de las matemáticas sigue siendo la misma. Al aprender a navegar entre diferentes sistemas de numeración, descubrieron que el conocimiento y la comprensión no están limitados por la cantidad de dedos, sino por la imaginación y la creatividad.

2. Encuentos cercanos del decimosexto tipo

Un día, mientras Lisa y sus amigos discutían sobre los números en Springfield, sucedió algo extraordinario: una nave espacial aterrizó en el parque de la ciudad. De la nave emergieron los alienígenas Kang y Kodos, los cuales tenían ocho dedos en cada mano. Estos extraterrestres venían de un mundo donde todo se basaba en un sistema numérico aún más avanzado: el sistema hexadecimal.

Kang y Kodos explicaron que en su planeta, con dieciséis dedos en total, habían desarrollado un sistema numérico de base 16, o hexadecimal. Este sistema utilizaba dieciséis símbolos: los dígitos del 0 al 9, y las letras A, B, C, D, E y F para representar los valores del 10 al 15.

Los alienígenas mostraron cómo funcionaba su sistema. Por ejemplo, para contar hasta el número 20 en su sistema hexadecimal, usarían:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (que corresponde a 15 en decimal)

• Luego seguirían con 10, 11, 12, 13 y 14 (que corresponden con los decimales 16, 17, 18, 19 y 20).

• El numero hexadecimal 14 corresponde entonces con el número 20 en sistema decimal.

Lisa y sus amigos quedaron fascinados. Kang y Kodos les explicaron que, aunque su sistema parecía diferente, las matemáticas seguían funcionando igual. Por ejemplo, al multiplicar 3 por 3:

• En decimal, 3 * 3 = 3 + 3 + 3 = 9.

• En octal, 3 * 3 = 3 + 3 + 3 = 11.

• En hexadecimal, 3 * 3 = 3 + 3 + 3 = 9, ya que todos los valores y símbolos son los mismos en ambos sistemas numéricos.

Pero si consideramos tres formas de hacer la misma operación con 15 + 1, que en octal 15 se representa como 17, y en hexadecimal 15 corresponde a F:

• En decimal, 15 + 1 = 16.

• En octal, 17 + 1 = 20 (ya que 17 en octal es 15 en decimal).

• En hexadecimal, F + 1 = 10 (ya que F en hexadecimal es 15 en decimal).

Lisa, impresionada, dijo a sus amigos: "Nuevamente se demuestra que no importa cuántos dedos tengas ni qué símbolos uses, las matemáticas son universales. Ya sea en decimal, octal o hexadecimal, las reglas fundamentales son las mismas."

3. La triste historia de los niños mutantes

Sabemos que debido a la contaminación radioactiva de Springfield causada por los desechos de la planta del Señor Burn han generado gran cantidad de mutaciones y en el hospital pediátrico de Springfield existe un ala para niños que son extremadamente inteligentes, pero en cada una de sus manos solamente tienen un dedo. Aunque esto pudiera parecer una desventaja, estos niños eran ingeniosos y curiosos, siempre buscando maneras de entender y representar el mundo que los rodeaba. Su peculiar anatomía los llevó a crear un sistema numérico único, conocido hoy como el sistema binario.

Con solo un dedo en cada mano, a estos niños no se les facilitaba contar de la misma manera que los demás. En lugar de utilizar diez dígitos como en el sistema decimal, o incluso ocho como en el sistema octal, decidieron usar un sistema mucho más simple y fundamental: el sistema binario, que solo tiene dos dígitos: 0 y 1.

En el sistema binario, cada dígito representa una potencia de 2, en el octal una potencia de 8, en el decimal una potencia de 10 y en el hexadecimal una potencia de 16, empezando desde la derecha. Así, el número binario 101 se puede transformar a decimal así:

• 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

• Lo que equivale a 1*4 + 0*2 + 1*1 = 4 + 0 + 1 = 5 en decimal.

En forma similar pasa cuando revisamos los números decimales, cada dígito representa una potencia de 10, comúnmente los llamamos: las unidades (10⁰), decenas (10¹), centenas (10²), y así sucesivamente. Por lo tanto 642 en decimal equivale a 2*10⁰ + 4*10¹ + 6 * 10². Pero si fuera 642 en octal equivaldría a: 2*8⁰ + 4*8¹ + 6*8².

Estos niños empezaron a explorar las matemáticas usando su nuevo sistema. Descubrieron igualmente que, aunque los números se veían diferentes, las operaciones seguían las mismas reglas universales. Por ejemplo, al sumar los números binarios 10 (2 en decimal) y 11 (3 en decimal):

• En binario: 10 + 11 = 101

• En decimal: 2 + 3 = 5, lo que corresponde al número binario 101.

Los niños encontraron que su sistema binario era increíblemente útil para representar y manipular información, especialmente en el mundo de la electrónica y la computación. Cada 0 y 1 podían corresponder a un estado apagado o encendido, lo que les permitió simplificar la representación de datos y las operaciones lógicas.

Lisa, impresionada por el ingenio de estos niños, les enseñó a sus amigos cerebrito la importancia del sistema binario en el mundo moderno. Les explicó que, aunque los números binarios parecieran simples, eran la base de todas las computadoras y dispositivos electrónicos que utilizamos hoy en día.

Lisa dijo: "No importa cuántos dedos tengas, ni qué símbolos uses. Las matemáticas son universales y las reglas fundamentales siempre se aplican. Desde el sistema binario de los niños con un dedo, hasta el hexadecimal de los alienígenas, todos estos sistemas nos muestran la belleza y la versatilidad de los números."

Y así, en la ciudad de Springfield, todos aprendieron a apreciar la simplicidad y el poder del sistema binario, entendiendo que, aunque las representaciones puedan variar, las matemáticas conectan a todas las criaturas y tecnologías, demostrando que el conocimiento y la creatividad no tienen límites.

4. Tabla de equivalencias

Presentamos una tabla de equivalencias entre los sistemas hexadecimal (primera columna), decimal (segunda columna, números subrayados), octal (tercera columna) y binario.

Se resaltan números importantes mediante el uso de los colores de la fuente, del fondo, negrillas, itálicas y subrayados.

4.a) Ejercicios

1. Revisar las potencias de 2 ¿cómo se escriben en cada sistema numérico?

2. ¿Qué significan los binarios que solamente tienen 1s?

3. ¿A qué corresponden los números 10, 40, 80 y 100 en hexadecimal?

4. En un byte, que tiene 8 bits ¿cual es el número decimal más grande que puede almacenarse?

5. En un nibble, que tiene 4 bits ¿cual es el número hexadecimal más grande que puede almacenarse?

5. Aplicación de las Bases 16 (hex), 32 y 64 en Informática

Así como imaginamos a los alienígenas con 8 dedos en cada mano, podríamos imaginar unos con 16 dedos en cada mano o 32 y así llegar a las bases 32 y 64 respectivamente.

En el campo de la informática, la representación y manipulación eficiente de datos son aspectos cruciales. Se destacan los sistemas numéricos que utilizan las bases 16, 32 y 64 para representar los dígitos dada la practicidad que hay para almacenarlas en conjuntos de 8 bits llamados Bytes. Cada uno de estos sistemas tiene aplicaciones específicas que mejoran el rendimiento y la eficiencia en diversas tareas computacionales.

Las bases 16, 32 y 64 son herramientas fundamentales en la informática moderna, cada una con aplicaciones específicas que mejoran la eficiencia y funcionalidad de los sistemas computacionales. Desde la representación compacta de datos binarios hasta la codificación eficiente para transmisión y almacenamiento, estos sistemas de numeración ilustran la versatilidad y adaptabilidad de las matemáticas en el campo de la tecnología. La comprensión y aplicación de estas bases permiten a los profesionales de la informática optimizar el rendimiento y la seguridad de las aplicaciones en un mundo digital cada vez más complejo.

5.a) Base 16 (Hexadecimal)

El sistema hexadecimal, o base 16, utiliza 16 dígitos: del 0 al 9 y las letras A, B, C, D, E y F para representar los valores del 10 al 15.

Es probable que al utilizar un programas de manipulación gráfica o de fotografías hayas visto que se utiliza el sistema hexadecimal para representar colores debido a su eficiencia y claridad en la codificación de valores RGB (Rojo, Verde, Azul). En el modelo de color RGB, cada color se define por una combinación de tres componentes: rojo, verde y azul, cada uno de los cuales puede tener un valor entre 0 y 255. En hexadecimal, estos valores pueden ser representados de manera concisa usando dos dígitos para cada componente. Por ejemplo, el color blanco se representa como #FFFFFF, donde FF en hexadecimal equivale a 255 en decimal, indicando la máxima intensidad de rojo, verde y azul.

Esta base es particularmente útil en informática por varias razones:

1. Representación compacta de datos binarios: Un dígito hexadecimal representa exactamente cuatro bits (un nibble). Esto permite una representación más compacta y legible de datos binarios. Por ejemplo, el byte binario 1111 1010 puede representarse como FA en hexadecimal.

2. Facilidad de conversión: Convertir entre binario y hexadecimal es directo, ya que cada dígito hexadecimal se corresponde con un grupo de cuatro bits. Esto simplifica la interpretación y manipulación de valores binarios en programación y depuración.

3. Direcciones de memoria: En muchas arquitecturas de computadoras, las direcciones de memoria se expresan en hexadecimal, lo que facilita la lectura y gestión de estas direcciones en sistemas operativos y lenguajes de programación de bajo nivel.

Ejemplo:

• El número binario 1010 1100 se convierte a hexadecimal agrupando los bits: 1010 (A) y 1100 (C), resultando en AC.

5.b) Base 32

El sistema de base 32 utiliza 32 dígitos para representar valores. Aunque menos común que el hexadecimal o el binario, tiene aplicaciones específicas en informática:

1. Codificación de datos: Base 32 se utiliza en sistemas de codificación de datos, como en el formato de correo electrónico MIME (Multipurpose Internet Mail Extensions) y en sistemas de codificación de URLs. Un ejemplo notable es el algoritmo de codificación Base32, que convierte datos binarios en una representación textual usando 32 caracteres, facilitando la transmisión y almacenamiento de datos en sistemas que solo soportan texto.

2. Optimización de espacio: La codificación en base 32 es más eficiente en términos de espacio que base 64, aunque con una ligera penalización en la densidad de información, lo que puede ser adecuado para aplicaciones donde la simplicidad y compatibilidad son más importantes que la máxima eficiencia de espacio.

Ejemplo:

• En Base32, el número binario 010011110110 podría representarse como J6.

5.c) Base 64

El sistema de base 64 es ampliamente utilizado en la informática moderna, especialmente en la codificación de datos para transmisión y almacenamiento:

1. Codificación de datos binarios a texto: Base 64 es utilizado para convertir datos binarios en una representación textual usando 64 caracteres (A-Z, a-z, 0-9, +, /). Esto es útil para transmitir datos binarios a través de medios que solo soportan texto, como el correo electrónico y ciertas aplicaciones web.

2. Reducción de tamaño: Al utilizar un conjunto mayor de caracteres, base 64 puede representar datos de manera más compacta que base 32. Esto reduce el tamaño de los datos codificados y mejora la eficiencia de la transmisión y el almacenamiento.

3. Seguridad y encriptación: Base 64 es comúnmente utilizado en la codificación de claves y certificados encriptados, facilitando la manipulación segura de datos en sistemas de seguridad y autenticación.

Ejemplo:

• El conjunto de bytes 01001000 01100101 01101100 01101100 01101111 (que representa "Hello" en ASCII) se convierte a Base64 como SGVsbG8=.

6. El Sistema Sexagesimal: Una Mirada Histórica y Práctica

El sistema sexagesimal, basado en el número 60, es uno de los más antiguos y perdurables en la historia de la humanidad. Su origen se remonta a las antiguas civilizaciones de Mesopotamia, particularmente a los sumerios y babilonios, quienes desarrollaron un sistema de numeración y medición que ha influido profundamente en la forma en que comprendemos el tiempo y el espacio hoy en día.

6.a) La Conexión con las Docenas

El concepto de las docenas, o grupos de 12, se ha arraigado profundamente en diversas prácticas culturales y comerciales. Por ejemplo, es común comprar una docena de huevos o dividir el día en dos períodos de 12 horas. Este sistema tiene una base práctica que se relaciona con la anatomía humana.

Al observar la mano humana, se puede notar que cada dedo (excepto el pulgar) está dividido en tres partes conocidas como falanges. Utilizando el pulgar como una herramienta de conteo, una persona puede contar hasta 12 en una sola mano:

• Las tres falanges del dedo índice representan los primeros 3 números.

• Las tres falanges del dedo medio representan los siguientes 3 números.

• Las tres falanges del dedo anular representan otros 3 números.

• Las tres falanges del dedo meñique representan los últimos 3 números.

Así, con una sola mano se puede contar hasta 12, formando una docena. Este método sencillo y eficiente de conteo pudo haber sido un factor clave en la adopción de las docenas en prácticas cotidianas y comerciales.

6.b) De las Docenas a las Sesenta Unidades

Llevando esta lógica un paso más allá, si utilizamos la otra mano para contar con los dedos cada vez que lleguemos a la docena y tengamos que volver a comenzar a contar la siguiente, podemos contar hasta 5 docenas (5 * 12), lo que nos lleva al número 60. Este método de conteo dual forma la base del sistema sexagesimal.

Los babilonios, por ejemplo, adoptaron este sistema para su numeración y medidas, dividiendo el círculo en 360 grados, los cuales corresponden a 6 veces 60. Esto también se refleja en la división del tiempo:

• Un minuto se divide en 60 segundos.

• Una hora se divide en 60 minutos.

6.c) La Perdurabilidad del Sistema Sexagesimal

La utilización del sistema sexagesimal ha perdurado a lo largo de los siglos debido a su flexibilidad y utilidad práctica. Algunas de sus aplicaciones más notables incluyen:

• Medición del tiempo: La división de horas, minutos y segundos.

• Geometría y astronomía: La división del círculo en 360 grados, y el uso de minutos y segundos de arco en mediciones angulares.

• Navegación y cartografía: Coordenadas geográficas expresadas en grados, minutos y segundos.

El número 60 es altamente divisible, lo que lo hace especialmente conveniente para cálculos y divisiones. Por ejemplo, 60 puede dividirse exactamente entre 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, lo que facilita fraccionar el tiempo y los ángulos en partes iguales.

El sistema sexagesimal es un testimonio de la creatividad y pragmatismo de las civilizaciones antiguas. Basado en una combinación de características anatómicas humanas y la necesidad de divisiones prácticas, este sistema ha dejado una marca indeleble en nuestra comprensión del tiempo y el espacio. A lo largo de milenios, ha demostrado ser un método robusto y eficiente, influyendo en numerosos aspectos de la vida cotidiana y las ciencias.

7. Disclamer

Los niños mutantes de un dedo en cada mano y los alienígenas con ocho dedos son solo productos de la imaginación y cualquier parecido con la realidad es pura coincidencia. No visualices a los pobres niños tratando de sostener sus teteritos con sus manos de un sólo dedo ni tengas pesadillas con ello. Durante la escritura de este artículo, ningún niño fue maltratado, solo fueron utilizados efectos especiales. Todos los personajes y situaciones descritos en esta historia son ficticios y tienen como único propósito el entretenimiento y la educación sobre sistemas de numeración. ¡Disfruta aprendiendo y recuerda que la curiosidad no tiene límites!

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Desde Binario hasta Base64: Una Guía Completa para Dominar los Sistemas de Numéricos está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual 4.0 Internacional.